Mladší z bratrů Chlapíků začínal s hokejem ve Slavii, odkud se poté přes Letňany a Liberec dostal do dorostu Sparty. V holešovickém klubu se potkal se svým starším bratrem Adamem, kterého už brzy přerostl. Mladší z bratrů zamířil již v roce 2014 do kanadské QMJHL, což bylo zlomové rozhodnutí jeho kariéry. Výborná první sezona se 75 body v 64 zápasech mu na draftu NHL vynesla zájem Ottawy, která si českého mladíka vybrala ve druhém kole jako 48. hráče v pořadí. Mládežnický reprezentant strávil v juniorské soutěži další dvě sezony, než přišel další krok vzhůru. Filip Chlapík se přesunul na farmu, kde působil tři sezony.

Už v té premiérové si připsal celkem dvacet startů v NHL, které během tří let rozšířil na celkových 56 zápasů s bilancí pěti branek a šesti asistencí. Poctivý pracant a šikovný centr pendloval mezi farmou a prvním týmem, odkud se na podzim 2020 přesunul do Česka. Filip Chlapík si připsal extraligový debut a ve třech zápasech za Spartu vstřelil jeden gól. Následně se vrátil do Ottawy, za kterou odehrál jeden zápas a po rozvázání smlouvy se Senators se vrátil do Evropy. Kvůli uzavřenému přestupnímu termínu nezamířil do Sparty, nýbrž nastupoval za finské Pelikány z Lahti. V létě 2021 však uskutečnil svůj comeback, když podepsal novou smlouvu ve Spartě.

Chlapík se stal od začátku sezony ozdobou extraligy, když pravidelně sbíral více než bod na zápas. Mladý útočník překonal se sedmdesáti kanadskými body klubový rekord produktivity, stal se nejlepším hráčem soutěže a Spartě pomohl až do finále. V něm však Pražané nestačili na Třinec. Na olympiádu ani světový šampionát se neprobojoval, přesto se v létě vydal na angažmá do Švýcarska, kde patřil k oporám Ambri Piotta. Ve finále Spenglerova poháru se svým týmem dokonce pomohl porazit Spartu, do které se po nepovedeném světovém šampionátu ve Finsku a v Lotyšsku vrátil coby čerstvý dvojnásobný otec.