Josef Kořenář začínal s hokejem v Humpolci, ale už v mládežnickém věku se talentovaný gólman přesunul do Jihlavy. Z juniorky si následně odskočil na roční zkušenost do juniorské USHL, po níž se vrátil do Dukly, kde si připsal první extraligové zkušenosti. Mladý gólman však nezabránil sestupu a coby účastník světového šampionátu do dvaceti let podepsal smlouvu se San Jose, kde další dvě sezony držel farmářskou Barracudu. Na podzim 2020 se Josef Kořenář vrátil do extraligy, kde v jedenácti zápasech pomohl Třinci, jelikož zámořské soutěže kvůli COVID-19 stály.

Závěr ročníku už ale dochytal v zámoří a připsal si dokonce prvních deset startů v NHL. Po sezoně byl však vyměněn do Arizony, kde za Karlem Vejmelkou a Carterem Huttonem chytal coby trojka za farmářský Tucson a dvakrát naskočil do zápasu prvního týmu. V létě roku 2022 se však člen širšího kádru reprezentace vrátil do Česka, kde se dohodl na novém kontraktu se Spartou. Ve své premiérové sezoně v dresu s eskem na prsou zapsal celkem patnáct startů, když převážně kryl záda gólmanské jedničce Jakubu Kovářovi. Kromě toho jej diváci viděli v jednom utkání v Chance lize, konkrétně v týmu pražské Slavie.