Odchovanec sparťanského hokeje strávil v Holešovicích svá dorostenecká léta, před sezonou 2010/2011 se rozhodl zkusit štěstí ve finské Tappaře Tampere. Po dvou sezonách v jejím juniorském týmu se vrátil do Česka, kde se dohodl s prvoligovým Havlíčkovým Brodem, který byl jeho kmenovým týmem i v dalším ročníku. David Dvořáček však nastupoval i za juniorský tým Sparty, která se ozvala i před ročníkem 2014/2015.

Mladý útočník absolvoval letní přípravu, během které si řekl o místo v prvním týmu, za který nakonec nastoupil do 40 zápasů základní části a devět startů přidal v play off. První extraligový gól si pak připsal až v 51. kole na ledě Litvínova, kde se v předchozím vzájemném utkání dokonce popral s Jiřím Šlégrem, za což si získal uznání sparťanských fanoušků. Těm se poté ztratil z očí, když se přes Kladno a Havířov dostal do Prostějova.

V dresu Jestřábů nakonec odehrál poslední dvě sezony, v nichž patřil k oporám týmu a dvakrát mu pomohl do play off. Během toho neústupný forvard vypomohl ve třech extraligových zápasech také své Spartě, která se s ním před sezonou 2019/2020 dohodla na novém kontraktu a oznámila ho jako jednu z prvních letních posil. Při svém obnoveném návratu dostal šanci ve 36 duelech, v nichž posbíral devět bodů. Jeho služeb využili také trenéři v Prostějově, kde Dvořáček nastoupil k pěti zápasům.

V sezoně 2020/2021 se podobně jako v minulém ročníku napevno usadil v A-týmu Sparty, kde naskočil do 39 duelů v základní části a dalších 10 zápasů v play off. Útočník, jenž vyniká zejména svou zarputilostí a pečlivou defenzivní činností, se rozhodl následně prodloužit smlouvu o další rok. Dvořáček odstartoval novou sezonu 2021/2022 hostováním na Kladně, aby se mohl vrátit v lepší výkonnostní formě zpátky do Sparty. Brněnský odchovanec naskočil za pražský celek do bezmála padesáti zápasů včetně play off a díky své hře pomohl týmu k druhému místu v domácí soutěži.