Sparťanský odchovanec patří mezi největší naděje českého brankoviště. V lednu 2015 poprvé trénoval s prvním mužstvem Sparty, ale sezonu 2015/2016 mu překazilo zranění. I přesto se stal na jaře 2016 nejvýše postaveným Čechem juniorského draftu, když si ho jako 37. v pořadí vybral tým USHL Muskegon Lumberjacks.

Talentovaný brankář nastoupil na univerzitě ve svém prvním ročníku za mořem do 30 utkání, zatímco v sezoně 2017/2018 naskočil za Muskegon pouze do třinácti zápasů. V další části téže sezony si zahrál i několik zápasů v soutěži North American Hockey League, kde odchytal celkem 21 zápasů. Pražský rodák v ročníku 2018/2019 nakoukl mimo jiné do mládežnických reprezentací, když reprezentoval výběry do devatenácti a dvaceti let. Maskovaný muž v roce 2018 uzavřel svou zahraniční kapitolu a stal se novou posilou kladenských Rytířů.

Brízgala při svém návratu do tuzemská kluziště dostal od trenérů dostatek prostoru, když v Chance lize v první sezoně atakoval hranici dvou tisíc odchytaných minut. Své statistiky si následně vylepšil v v baráži o extraligu, kdy naskočil za Rytíře v jednom utkání. A rovnou zaznamenal čisté konto! V sezoně 2019/2020 si zachytal za Kladno pouze v pěti duelech a své vytížení našel znovu ve druhé nejvyšší soutěži. V Ústí nad Labem odchytal rovných 1 400 minut, které rozdělil do 25 zápasů. Brízgala si zachytal také v Českých Budějovicích, kde však zaznamenal do svých statistik pouze dva odchytané zápasy.

V covidem poznamenané sezoně 2020/2021 naskočil za Kladno do třinácti zápasů v základní části a v jednom duelu si zahrál v play off. V průběhu sezony 2021/2022 se fanoušci postupně vrátili na tribuny a Brízgalovým novým působištěm se stala Poruba. V ní si zachytal v 23 zápasech, ve kterých jedenáctkrát slavil vítězství a v deseti případech musel skousnout porážku. I díky své pracovitosti se v květnu 2022 dočkal další velké výzvy, když podepsal smlouvu se Spartou.