Ostravský rodák začínal s hokejem ve Vítkovicích, ve kterých hrál až do juniorského věku. Po sezoně 2008/2009, ve které se svými spoluhráči ovládl juniorskou extraligu, se rozhodl vyzkoušet zámořský hokej. Dva roky působil v Prince Edward Island Rocket v juniorské Quebec Major Junior Hockey League, ve své druhé sezoně dokonce plnil roli asistenta kapitána.

Během mládežnické kariéry patřil do kádru reprezentační šestnáctky, osmnáctky a dvacítky, v roce 2009 se účastnil mistrovství světa do 18 let v americkém Fargu, kde Češi skončili na šestém místě. Po přechodu mezi dospělé působil střídavě na farmách St. Louis Blues a Vancouver Canucks v AHL a v nižší East Coast Hockey League v dresu Kalamazoo Wings. V prosinci 2013 se vrátil ze zámoří a zamířil do pražské Sparty.

V jejím dresu si připsal extraligový debut, a to 10. ledna v derby se Slavií, které Sparta doma vyhrála 4:2. V základní části odehrál 16 zápasů, v play off přidal dalších deset. Celkem nasbíral 10 kanadských bodů za čtyři branky a šest asistencí, velice rychle našel pevné místo v základní sestavě týmu. Jeho výkon neunikl expertům. Polášek byl i přes malý počet odehraných zápasů Českou televizí vyhlášen třetím nejlepším nováčkem sezony. V ročníku 2014/2015 se stal se skvělými 36 body v základní části nejproduktivnějším obráncem ligy a nakonec byl vyhlášen nejlepším obráncem sezony.

O rok později si se Spartou zahrál dechberoucí extraligové finále, ale po neúspěšné bitvě s Libercem se český reprezentant přesunul do KHL. Ve třech sezonách oblékal barvy Novosibirsku, Soči a Nižněkamsku. Vydařené výkony mu v roce 2018 vynesly pozvánku na olympijské hry v Jižní Koreji i na mistrovství světa v Dánsku. V dresu Něftchemiku se Adamu Poláškovi dařilo v sezoně 2018/2019, ve které nasbíral celkem 26 bodů v 58 zápasech základní části, ale v červenci 2019 uskutečnil návrat do známých míst, když se upsal Spartě.

V dresu Sparty však vydržel jen pár měsíců, jelikož na konci roku využil klauzuli ve smlouvě a odešel do finské Tappary. Nový ročník 2020/2021 zahájil i vinou koronavirové pandemie v extralize, kde nastupoval za rodné Vítkovice. Na začátku prosince se však potřetí v kariéře vrátil do našeho klubu. Vousatý obránce hned při svém příchodu znovu potvrdil, jak dokáže být platným hráčem. Skvělý mentor pro mladé hráče naskočil v sezoně 2020/2021 do 41 utkání včetně play off a v uplynulém ročníku 2021/2022 opět patřil k lídrům mužstva. Jeho bodový příspěvek činil třináct bodů v 49 zápasech základní části a šest bodů přidal v 16 duelech play off.

Polášek i nadále plnil v týmu roli spolehlivého obránce, když nosil na svém dresu písmeno "A". Zastával pozici zástupce kapitána Michala Řepíka a v případě potřeby byl trenérům k dispozici. Podobně jako v předchozích sezonách i tentokrát po jeho boku hokejově rostlo několik mladých, talentovaných hráčů v juniorském věku, které čeká trvalý přechod mezi dospělé hráče. Poláškovi oproti sezoně 2021/2022 neklesla porce odehraných minut, když naskočil do téměř 50 duelů v základní části. Bodově sice tolik nevynikal, ale svou poctivou prací soupeře u mantinelu pokaždé svými hity potrápil. V play off naskočil do všech šesti zápasů za Spartu, v nichž ale vyšel bodově naprázdno.