Daniel začínal s hokejem v Písku, kde se také narodil. V roce 2009 si jeho talentu všimla Sparta a přetáhla ho do svého dorosteneckého výběru. Daniel se již v úvodní sezoně podíval také do juniorky, ve které se v dalším ročníku prosadil natrvalo. S 58 body ve 41 zápasech patřil k oporám juniorského týmu z Holešovic. V sezoně 2010/2011 poprvé nakoukl do "A" týmu Sparty, kde odehrál tři střetnutí. Přibyl debutoval 4. ledna 2011 na ledě Liberce. První body a první gól mezi seniory si připsal během play out, které následovalo po zpackané základní části.

V následujícím ročníku už naskočil do 17 zápasů a vstřelil dvě branky. Zároveň patřil k velkým talentům celého českého hokeje, trenéři si ho vybrali na světový šampionát dvacítek v roce 2012. Jeho um neunikl ani zámořským skautům a v draftu 2011 po něm sáhli Montreal Canadiens, kteří si sparťanského útočníka vybrali jako 168. celkově.

V sezoně 2012/2013 už Přibyl kromě jednoho zápasu v prvoligových Litoměřicích působil trvale ve sparťanském "A" týmu. Ve 42 zápasech nastřílel vytáhlý forvard dvanáct branek a na dalších jedenáct nahrál, v play off ale vyšel naprázdno. To v následujícím bronzovém ročníku si vedl mnohem lépe, k 25 kanadským bodům ze základní části přidal ve vyřazovacích bojích pět branek a tři nahrávky, což z něj společně s rovněž pětigólovým Petrem Tonem dělalo nejlepšího střelce klubu v play off.

Ročníkem 2014/2015 se Přibyl zdravotně protrápil. Sužovalo ho opakující se zranění, kvůli kterého mohl nastoupil pouze do 21 zápasů základní části. Připsal si v nich 15 kanadských bodů, v play off přidal dalších pět. To následující sezona už byla úplně o něčem jiném! Přibyl nasbíral 45 kanadských bodů ve 45 utkáních základní části a v play off přidal dalších 11. Sparta i jeho přispěním došla až do finále a nakonec získala stříbrné medaile.

V létě 2016 se rozhodl odejít poprvé v kariéře do zahraničí a zamířil do zámoří. Bojoval o místo u Calgary Flames, se kterými podepsal smlouvu, nakonec ale sbíral starty pouze na farmě Stockton Heat. A navíc ho opět sužovaly zdravotní potíže, vinou kterých dokonce musel po letní operaci vynechat celou sezonu 2017/2018. V následujícím ročníku se Přibyl vrátil zpět do Sparty, ale i přes velkou podporu spoluhráčů a vinou dalších vleklých zdravotních potíží stále čeká na svůj comeback ve sparťanském dresu.