Odchovanec Kadaně nakoukl do velkého hokeje v dresu Chomutova, kde vyrůstal po boku staršího bratra Ondřeje. Mládežnický reprezentant startoval také na světových šampionátech do 18 i 20 let, navíc v ročníku 2013/2014 pomohl osmnáctce k zisku stříbrných medailí. O rok později byl dokonce kapitánem celého týmu. I díky svým výkonům zaujal zástupce Philadelphie, kteří si ho v roce 2015 vybrali jako 128. hráče draftu.

V té době už byl David Kaše stabilní součástí extraligových Pirátů, od kterých zamířil sbírat cenné zkušenosti do švédské Mory. Elitní severská soutěž mladému útočníkovi prospěla a pomohla mu do AHL, kde nastupoval za Lehigh Valley Phantoms. V sezoně 2019/2020 si mladého útočníka vytáhli Flyers, v jejichž dresu odehrál šest zápasů. Během nich dokázal vstřelit první gól v NHL, což si nemohl načasovat lépe. David skóroval ve čtvrtém utkání proti Anaheimu, jehož dres oblékal bratr Ondřej a utkání sledovali rodiče Kašovi.

David Kaše nasbíral v NHL celkem sedm startů, jinak nastupoval převážně v AHL, odkud si na podzim roku 2020 odskočil do extraligových Karlových Varů. V dresu Energie odehrál David Kaše celkem 27 zápasů s bilancí šesti tref a devatenácti asistencí, následně zamířil zpět do zámoří. V létě 2021 však mladému útočníkovi skončila nováčkovská smlouva, a jelikož nedošlo k jejímu prodloužení, dohodl se se Spartou.

Ve své první sezoně ve sparťanském dresu naskočil do 43 zápasů, ve kterých nastřádal celkem 23 kanadských bodů. Talentovaný útočník sice skóroval pouze čtyřikrát v základní části, zato hned v devatenácti případech připravil svým spoluhráčům góly. V play off vinou zranění odehrál jen osm duelů, ve kterých i přes náročný program dvakrát bodoval. Ve Spartě zůstává i nadále a v sezoně 2022/2023 by měl patřit znovu k mladým puškám celého týmu.