Člen širšího reprezentačního kádru pochází z Havířova, kde také nakoukl do velkého hokeje. Odchovanec místního klubu patřil k tahounům juniorského týmu a pravidelně zakončoval sezonu s více než třiceti body na kontě. V průběhu dalších let pak dostával prostor v prvním mužstvu, ale nezabránil jeho sestupu do třetí nejvyšší soutěže.

Po třech sezonách ve druhé lize pomohl havířovskému hokeji zpět do první ligy a začal jeho kariérní vzestup. Robert Říčka sice v ročníku 2014/2015 nezažíval bodové hody, ale zaujal extraligový Zlín a většinu ročníku strávil v prvním mužstvu ševců, kde se nakonec zabydlel a v obou posledních sezonách odehrál kompletních 52 zápasů.

V posledním ročníku se objevil i v reprezentaci, v jejímž dresu nastoupil ve třech zápasech Euro Hockey Tour a jednom přátelském duelu. Ten odehrál proti Norsku v rámci přípravného kempu před mistrovstvím světa ve Francii a v Německu, ale ze závěrečné nominace nakonec vypadnul. V květu 2017 pak uzavřel autor jedenácti branek a osmi asistencí z extraligové sezony 2016/2017 smlouvu se Spartou, ve které si během své úvodní sezony připsal 25 kanadských bodů ve 49 utkáních.

V ročníku 2018/2019 si bodově pohoršil, nicméně do jeho výkonů výrazně promluvily zdravotní potíže. Od listopadu až do konce sezony byl Říčka mimo hru a svoji kariéru restartoval o rok později. V sezoně 2019/2020 si vše vynahradil, jelikož nevynechal ani jeden zápas! Ve 52 duelech nasbíral v celkovém součtu 25 bodů.